Đáp án A

Theo bài ra, ta có khối nón (N) nội tiếp khối cầu (S).

Giả sử khối nón (N) có đỉnh A, tâm đáy I như hình vẽ bên với h = I A  là chiều cao và bán kính đáy r = I K  

Tam giác AMK vuông tại K, có  I K 2 = I A . I M ⇔ r 2 = h 2 R − h

Suy ra  V N = 1 3 π r 2 h = π 3 h 2 2 R − h = π 3 . 2 R h 2 − h 3

Xét hàm số f h = 2 R h 2 − h 3  trên khoảng  0 ; 2 R → max f h = 32 R 3 27

Vậy thể tích cần tính là  V = π 3 . 32 R 3 27 = 32 π R 3 81

Đáp án A.

Kí hiệu như hình vẽ.

Ta thấy I K = r '  là bán kính đáy của hình chóp, A I = h  là chiều cao của hình chóp.

Tam giác  vuông tại K có IK là đường cao

⇒ I K 2 = A I . I M ⇒ r ' 2 = h . 2 r − h

Ta có V c o h p = 1 3 . π r ' 2 . h = 1 3 . π . h . h . 2 r − h = 4 3 π . h 2 . h 2 2 r − h .

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có  

h 2 . h 2 . 2 r − h ≤ h 2 + h 2 + 2 r − h 3 27 = 8 r 3 27

⇔ V c h o p ≤ 4 3 π . 8 r 3 27 = 32 81 . π r 3

Dấu bằng xảy ra khi h 2 = 2 r − h ⇔ h = 4 r 3   . Vậy ta chọn A

Gọi H là tâm mặt đáy của hình nón, O là tâm mặt cầu (S), đường thẳng IH cắt mặt cầu (S) tại điểm K.